机械能守恒定律是力学中的一个基本定律，它指出：在惯性系中，如果只考虑质点系的内力，这个质点系的机械能守恒。下面让我来为大家详细介绍一下这个公式的推导过程吧。
一、机械能的定义
机械能包括动能和势能。动能是指物体的运动能量，表示为K=\frac{1}{2}mv^2。势能是指物体由于位置关系而具有的能量，包括重力势能和弹性势能。
二、力学功与能的转化
力学功是力将物体从一个位置移动到另一个位置所做的功。按照定义，力学功可写成W=\int_{x_1}^{x_2}F(x)dx。因为力学能和力学功是等价的，所以我们可以将力学功写成力学能的形式，即W=K_2-K_1，其中K_1是物体在位置x_1的动能，K_2是物体在位置x_2的动能。
三、机械能守恒定律的推导
在惯性系中，内力对机械能的贡献为零，所以机械能守恒，即K_1 U_1=K_2 U_2。因为势能是由重力和弹性力产生的，所以可以将势能写成U=mgh \frac{1}{2}kx^2的形式。因此，机械能守恒定律的公式就为：\frac{1}{2}mv_1^2 mgh_1 \frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2 mgh_2 \frac{1}{2}kx_2^2。
四、应用
机械能守恒定律广泛应用于各种物理问题的求解中，如滑块、弹簧、摆等问题。