素数指只能被1和它本身整除的正整数，比如2、3、5、7等，而其它正整数都叫做合数，比如4、6、8、9、10等。素数和合数是数学中非常基础、重要的概念，其定义和特性研究已经有数千年的历史。以下将从定义、性质、在数学中的应用等方面讲述素数和合数。
首先，素数和合数是针对正整数的概念。素数的定义可以简单表述为：如果一个正整数除了1和它本身，没有其它的正因子，那么这个数就是素数。比如2和3都是素数，因为它们只能被1和它自己整除；而4不是素数，因为它除了1和4，还能被2整除。
素数有许多重要的特性。最基本的一个特点是任何一个大于1的整数都能唯一分解成素数的乘积。这就是所谓的正整数唯一分解定理。这个定理不仅在数学中非常重要，而且应用非常广泛，比如在计算机密码学方面。
合数也有许多特性。一个正整数是素数当且仅当它不是4以上某两个正整数的积。这个定理被称为费马大定理。具体来说，费马大定理表明一个大于2的正整数n是素数，当且仅当满足以下条件：存在正整数a和b，使得n等于a的平方加上b的平方。比如13是一个素数，因为13=3² 2²。而21不是素数，因为21=5²-2²=4² 1²。
除此之外，素数和合数在数学中还有很多应用。比如，素数在数论、密码学中都有重要的应用；合数在分解质因数和约数等问题中具有重要作用。素数和合数的研究一直是数学中热门的研究课题，在数学和计算机等领域都有着广泛的应用。